El número de Oro.

EL NÚMERO DE ORO (FI)

El número de oro y el número Pi, compiten en popularidad. Este número lo descubrió Fideas, de ahi su nombre,Fi.

El número de Oro,surge de la división en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento más largo a como a es al segmento más corto b.Cumple la siguiente relación:

 

Este número es designado con letra griega = 1,61803... (Fi),

llamado número de oro. Este número al igual que Pi tiene infinitas cifras decimales.

Una diferencia importante desde el punto de vista matemático entre Pi y el número de oro es que el primero no es solución de ninguna ecuación polinómica en cambio el segundo si: .


Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.

El rectángulo áureo

2. Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale por lo que la proporción entre los dos lados es (nuestro número de oro).    

   

Obtenemos así un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea. A partir de este rectángulo podemos construir otros semejantes que, se han utilizando en arquitectura (Partenón, pirámides egipcias) y diseño (tarjetas de crédito, carnets, cajetillas de tabaco,  etc...).

Una propiedad importante de los triángulos áureos es que cuando se colocan dos iguales como indica la figura, la diagonal AB pasa por el vértice C.

 Situemos los rectángulos en unos ejes de coordenadas con origen en el punto A. Las coordenadas de los tres puntos serán entonces:

Vamos a demostrar que los vectores y    

son proporcionales:

Por lo tanto, los tres puntos están alineados.

RELACIÓN CON LA SERIE DE FIBONACCI.

Si se denota el enésimo número de Fibonacci como F_n, y al siguiente número de Fibonacci, como F_{n + 1}, descubrimos que, a medida que n aumenta, esta razón oscila, y es alternativamente menor y mayor que la razón áurea. Podemos también notar que la fracción continua que describe al número áureo produce siempre números de Fibonacci a medida que aumenta el número de unos en la fracción. Por ejemplo: ; ; y , lo que se acerca considerablemente al número áureo. Entonces se tiene que:

Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo alemán Johannes Klepes, pero pasaron más de cien años antes de que fuera demostrada por el matemático inglés Robert Simson.

      FUNCIONES DE FI.(naturaleza,arte,construcciones,vida diaria, cuerpo humano..)
El número áureo aparece, en las proporciones que guardan los edificios, esculturas, partes de nuestro cuerpo...

Hay un precedente a la cultura griega donde también apareció el número de oro. En La Gran Pirámide de Keops, el cociente entre la altura de uno de los tres triángulos que forman la pirámide y el lado es 2.

• En la GEOMETRIA:El número áureo y la sección áurea están presentes en todos los objetos geométricos regulares o semiregulares en los que haya simetría pentagonal, que sean pentágonos o que aparezca de alguna manera la raíz cuadrada de cinco.

• En el CUERPO HUMANO:

        Relaciones en la forma de la Gran pirámide de Gizeh. La afirmación de Heródoto de que el cuadrado de la altura es igual a la superficie de una cara es posible únicamente si la semi-sección meridiana de la pirámide es proporcional al triángulo rectángulo , donde 1 representa proporcionalmente a la mitad de la base, la raíz cuadrada del número áureo a la altura hasta el vértice (inexistente en la actualidad) y el número áureo o hipotenusa del triángulo a la apotema de la Gran Pirámide.



• En la NATURALEZA:

En la naturaleza, aparece la proporción áurea también en el crecimiento de las plantas, las piñas, la distribución de las hojas en un tallo, dimensiones de insectos y pájaros y la formación de caracolas.

 

La espiral logarítmica

Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo.

Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica.

 

 

Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama también espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética). J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó spira mirabilis, rogando que fuera grabada en su tumba.

La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantiene invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus.

POESÍA DEL NÚMERO ÁUREO.

Este número al igual que el Pi, tiene poesías, os dejo aquí una de ellas:

A ti, maravillosa disciplina,
media, extrema razón de la hermosura
que claramente acata la clausura
viva en la malla de tu ley divina.
A ti, cárcel feliz de la retina,
áurea sección, celeste cuadratura,
misteriosa fontana de mesura
que el universo armónico origina.
A ti, mar de los sueños angulares,
flor de las cinco formas regulares,
dodecaedro azul, arco sonoro.

Luces por alas un compás ardiente.

Tu canto es una esfera trasparente.

A ti, divina proporción de oro